Расстояния от середины высоты правильной треугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра равны 4 и sqrt(56) соответственно. найдите объём пирамиды.

Пусть имеем правильную пирамиду АВСS,
Проведём осевое сечение через ребро ВS.
Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS.
Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ.
Это будут заданные расстояния МЕ = 4 и МК = √56.

По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h.
Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а.

sinДSO = 4/x,  sinВSO = √56/х.
Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√56.
Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√56/(√56/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х.
Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5.
А так как sinДSO = 4/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 4/х =1/√5.
Отсюда х = 4√5, высота пирамиды Н = 2х = 8√5.
Высота h = ВД = 3х =3*4√5 = 12√5.
Теперь находим сторону основания:
а = h/cos30° = 12√5/(√3/2) = 24√5/√3 = 8√15.
Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 =
= 64*15√3/4 = 16*15√3 = 240√3.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*240√3*8√5 = 640√15 ≈  2478,709 куб.ед.