При установившемся технологическом процессе предприятие выпускает 2/3 своих изделий первым сортом и 1/3 вторым сортом.св x число изделий первого сорта из взятых наугад четырех. найти закон распределения указанной дискретной св x и её функцию распределения f(x).вычислить ожидание m(x),дисперсию d(x) и среднее квадратичное отклонение фи(x).построить график распределения f(x).
Первым шагом будет определение закона распределения для величины Х, которая показывает количество изделий первого сорта из взятых наугад четырех. Будем считать, что вероятность выпадения изделий первого сорта и второго сорта не зависит от порядка извлечения изделий. То есть, каждое изделие достается с одинаковой вероятностью.
Вероятность извлечь изделие первого сорта - это отношение числа изделий первого сорта к общему числу изделий:
P(X = 0) = (1/3)^4 = 1/81
P(X = 1) = 4 * (2/3) * (1/3) * (1/3) * (1/3) = 4/81
P(X = 2) = 6 * (2/3)^2 * (1/3)^2 = 36/81
P(X = 3) = 4 * (2/3)^3 * (1/3) = 32/81
P(X = 4) = (2/3)^4 = 16/81
Функция распределения F(X) - это сумма вероятностей P(X <= x) для каждого значения x:
F(X = 0) = P(X = 0) = 1/81
F(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 5/81
F(X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 41/81
F(X = 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 73/81
F(X = 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1
Для вычисления ожидания m(X) сначала необходимо найти математическое ожидание x для каждого значения x, а затем умножить его на вероятность P(X = x) и сложить результаты:
m(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4) =
= 0 + 4/81 + (2 * 36)/81 + (3 * 32)/81 + 4 * 16/81 = 2/3
Для вычисления дисперсии d(X) необходимо сначала найти квадрат отклонения (x - m(X)) для каждого значения x и умножить его на вероятность P(X = x). Затем сложить результаты и вычислить корень квадратный:
d(X) = (0 - 2/3)^2 * P(X = 0) + (1 - 2/3)^2 * P(X = 1) + (2 - 2/3)^2 * P(X = 2) +
+ (3 - 2/3)^2 * P(X = 3) + (4 - 2/3)^2 * P(X = 4) =
= (4/9) * (1/81) + (1/9) * (4/81) + (4/9) * (36/81) + (1/9) * (32/81) + (4/9) * (16/81) =
= 10/243
Среднее квадратичное отклонение ф(X) - это корень квадратный из дисперсии:
ф(X) = √(d(X)) = √(10/243)
Для построения графика распределения f(X) необходимо отложить по оси X значения x (0, 1, 2, 3, 4), а по оси Y - соответствующие вероятности P(X = x):
f(X = 0) = 1/81
f(X = 1) = 4/81
f(X = 2) = 36/81
f(X = 3) = 32/81
f(X = 4) = 16/81
Теперь у нас есть все данные для построения графика. Я бы рекомендовал использовать столбчатую диаграмму, где по оси X отложены значения x, а по оси Y - значения вероятностей P(X = x). Высота столбиков будет соответствовать этим вероятностям.
Надеюсь, я дал вам подробный и обстоятельный ответ, который будет понятен школьнику. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут еще какие-либо вопросы.