Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать, как меняется знак производной функции в разных интервалах.
1. Сначала нужно найти первую производную функции y=2+9x+3x^2-x^3. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого, применяя правила дифференцирования:
y' = 0 + 9 + 6x - 3x^2
2. Затем найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это могут быть критические точки, в которых функция меняет свой характер.
Чтобы найти точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
0 + 9 + 6x - 3x^2 = 0
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
-3x^2 + 6x + 9 = 0
Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:
x - 3 = 0 или x + 1 = 0
Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.
3. Теперь разделим ось x на интервалы, используя найденные критические точки и проверим знак производной в каждом интервале, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.
Между -∞ и -1:
Выберем точку в этом интервале, например, x = -2. Подставим эту точку в производную:
-3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12
Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.
Между -1 и 3:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 0. Подставим эту точку в производную:
-3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9
Поскольку результат положительный, то на этом интервале функция возрастает.
Между 3 и +∞:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 4. Подставим эту точку в производную:
-3(4)^2 + 6(4) + 9 = -3
Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.
Таким образом, мы получаем два промежутка возрастания функции: (-1, 3) и два промежутка убывания функции: (-∞, -1) и (3, +∞).
1. Сначала нужно найти первую производную функции y=2+9x+3x^2-x^3. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого, применяя правила дифференцирования:
y' = 0 + 9 + 6x - 3x^2
2. Затем найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это могут быть критические точки, в которых функция меняет свой характер.
Чтобы найти точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
0 + 9 + 6x - 3x^2 = 0
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
-3x^2 + 6x + 9 = 0
Факторизуем это уравнение:
-3(x^2 - 2x - 3) = 0
(x^2 - 2x - 3) = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение:
(x - 3)(x + 1) = 0
Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:
x - 3 = 0 или x + 1 = 0
Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.
3. Теперь разделим ось x на интервалы, используя найденные критические точки и проверим знак производной в каждом интервале, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.
Между -∞ и -1:
Выберем точку в этом интервале, например, x = -2. Подставим эту точку в производную:
-3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12
Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.
Между -1 и 3:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 0. Подставим эту точку в производную:
-3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9
Поскольку результат положительный, то на этом интервале функция возрастает.
Между 3 и +∞:
Выберем точку в этом интервале, например, x = 4. Подставим эту точку в производную:
-3(4)^2 + 6(4) + 9 = -3
Поскольку результат отрицательный, то на этом интервале функция убывает.
Таким образом, мы получаем два промежутка возрастания функции: (-1, 3) и два промежутка убывания функции: (-∞, -1) и (3, +∞).