Дана правильная треугольная призма abca1b1c1 с основаниями abc и a1b1c1. скрещивающиеся диагонали ba1 и cb1 боковых граней aa1b1b и bb1c1c перпендикулярны.
докажите, что ab: aa1=√2: 1.

Перенесём диагональ СВ1 точкой В1 в точку А1.

Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ВА1Е.

Примем длину основания призмы за "а", высоту за "h".

Сторона ВЕ равна двум высотам АВС:

ВЕ = 2а*(√3/2) = а√3.

Рассмотрим высоту А1Д треугольника ВА1Е.

А1Д = (1/2)ВЕ = а√3/2.

С другой стороны, А1Д - это гипотенуза треугольника АА1Д.

По Пифагору (А1Д)² = (а/2)² + h².

h = √((3a²/4) - (a²/4) = √(2a²/4) = a/√2.

Найдём соотношение AB:AA1 = а/(a/√2) = √2/1.

ответ: AB:AA1=√2:1.