1) Для доказательства иррациональности числа lg5 нужно воспользоваться методом от противного. Допустим, что lg5 является рациональным числом. Тогда можно представить его в виде дроби p/q, где p и q - целые числа.
Теперь заметим, что 10^(lg5) равняется 5, так как lg5 это то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить 5. Поэтому:
5 = (p^10) / (q^10)
Перемножим обе части уравнения на q^10:
5 * (q^10) = p^10
Теперь заметим, что p^10 - это некоторое целое число, так как 5 и q^10 являются рациональными числами. Обозначим это целое число как k:
5 * (q^10) = k
Отсюда следует, что q^10 = k/5. Заметим, что q^10 также является целым числом. Но это противоречит тому, что рациональное число возведенное в степень 10 может быть равно кратной 5. Поэтому предположение о том, что lg5 - рациональное число, неверно. Следовательно, lg5 - иррационально.
2) Для выделения подмножества иррациональных чисел из данного множества чисел нужно определить, какие числа являются рациональными, а какие - иррациональными.
Рациональные числа представимы в виде дробей p/q, где p и q - целые числа, а q не равно нулю. Например, числа 2/3, 5/4 являются рациональными.
Иррациональные числа не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби и имеют бесконечную десятичную дробь без периода. Например, π (пи) и √2 (квадратный корень из 2) являются иррациональными числами.
Таким образом, чтобы выделить подмножество иррациональных чисел из данного множества, нужно проанализировать каждое число и определить, является ли оно рациональным или иррациональным, используя известные критерии для рациональных и иррациональных чисел.
lg5 = p/q
Возведем обе части уравнения в степень 10:
10^(lg5) = (p/q)^10
10^(lg5) = p^10 / q^10
10^(lg5) = (p^10) / (q^10)
Теперь заметим, что 10^(lg5) равняется 5, так как lg5 это то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить 5. Поэтому:
5 = (p^10) / (q^10)
Перемножим обе части уравнения на q^10:
5 * (q^10) = p^10
Теперь заметим, что p^10 - это некоторое целое число, так как 5 и q^10 являются рациональными числами. Обозначим это целое число как k:
5 * (q^10) = k
Отсюда следует, что q^10 = k/5. Заметим, что q^10 также является целым числом. Но это противоречит тому, что рациональное число возведенное в степень 10 может быть равно кратной 5. Поэтому предположение о том, что lg5 - рациональное число, неверно. Следовательно, lg5 - иррационально.
2) Для выделения подмножества иррациональных чисел из данного множества чисел нужно определить, какие числа являются рациональными, а какие - иррациональными.
Рациональные числа представимы в виде дробей p/q, где p и q - целые числа, а q не равно нулю. Например, числа 2/3, 5/4 являются рациональными.
Иррациональные числа не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби и имеют бесконечную десятичную дробь без периода. Например, π (пи) и √2 (квадратный корень из 2) являются иррациональными числами.
Таким образом, чтобы выделить подмножество иррациональных чисел из данного множества, нужно проанализировать каждое число и определить, является ли оно рациональным или иррациональным, используя известные критерии для рациональных и иррациональных чисел.