Надо доказать, что 5^2n+10^n-4^2n-1 делится на 9. 10^n-1 делится на 9 (это 99...9). Остается доказать: 5^2n-4^2n делится на 9. Для =1 это так (25-16=9). Пусть это верно для n=к. Покажем, что это верно и для n=к+1. 5^(2k+2)-4^(2k+2)=25*5^2k-16*2^2k=9*5^2k+16*(5^2k-4^2k), но выражение в скобках , по предположению на 9 делится. Это и доказывает утверждение.
5^2n+10^n-4^2n-1 делится на 9.
10^n-1 делится на 9 (это 99...9).
Остается доказать: 5^2n-4^2n делится на 9. Для =1 это так (25-16=9).
Пусть это верно для n=к. Покажем, что это верно и для n=к+1.
5^(2k+2)-4^(2k+2)=25*5^2k-16*2^2k=9*5^2k+16*(5^2k-4^2k), но выражение в скобках , по предположению на 9 делится. Это и доказывает утверждение.