Математика: Решить log2(x-5)+log2(x-1) =log2(4x-11)

Решить log2(x-5)+log2(x-1)< =log2(4x-11)

Ответ:

vlad1457

03.10.2020 18:53

$log_2(x-5)+log_2(x-1)\leq log_2(4x-11)$

ОДЗ:
$\left\{{{\left\{{{x-5\ \textgreater \ 0}\atop{x-1\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{4x-11\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ 1}}\right}\atop{4x\ \textgreater \ 11}}\right.\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ \frac{11}{4}}}\right.$
Конечный ОДЗ: $x\ \textgreater \ 5$

Переписываем изначальное неравенство, применив свойство логарифмов:
$log_2((x-5)(x-1))\leq log_2(4x-11)\\$

Составляем соответствующую систему неравенств, основываясь на том, что основания логарифмов больше 1.
$\left\{{{(x-5)(x-1)\leq4x-11}\atop{(x-5)(x-1)\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-6x+5\leq4x-11}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-10x+16\leq0}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\\x^2-10x+16\leq0\\D=\sqrt{(-10)^2-4*1*16}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\\x_1=\frac{10+6}{2}=8\\x_2=\frac{10-6}{2}=2$
x_2

не удовлетворяет ОДЗ, потому отбрасываем и решаем второе неравенство.

$x^2-6x+5\ \textgreater \ 0\\D=\sqrt{(-6)^2-4*1*5}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4\\x_1=\frac{6+4}{2}=5\\x_2=\frac{6-4}{2}=1$
Оба корня не входят в ОДЗ, отбрасываем.

Проверка:
$log_2(8-5)+log_2(8-1)\leq log_2(4*8-11)\\log_23+log_27\leq log_2(32-11)\\log_2(3*7)\leq log_221$

ответ: x∈(–∞; 8]

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика