Решить дифференциальное уравнение, . 1) (e^x + e^x+y)dx - e^y dy=0 2) y'+ y - e^2x =0 3)y" - 3y' + 2y =0 4) y"= cos x/2

Решить дифференциальное уравнение

1) скорее всего так... (e^x + e^(x+y))dx - e^y dy=0 ,
тогда-
Д.У. с разделяющимися переменными.
(e^x )dx = [(e^y )/(1+ e^y)]dy
∫(e^x )dx =∫[(e^y )/(1+ e^y)]dy

e^x  =ln(1+ e^y)+c

2)
y'+ y - e^(2x)  =0      y'+ y = e^(2x)      линейное Д.У

решим методом Бернулли , полагаем y=uv,где u=u(x)≠0,  v=v(x)≠0,

y¹=u¹v+uv¹  , подставим в исходное уравнение:   

u¹v+uv¹+uv  =  e^(2x )
рассмотрим 

uv¹+uv =0         
u¹v  =  e^(2x) 
  
решаем первое уравнение системы
⇔u(dv/dx+v) =0 ⇔(dv/dx+v) =0 ⇔dv/dx=-v⇔dv/v=-dx ⇔lnv=-x

⇔     v=e^(-x)  

и подставим во второе уравнение системы

u¹ e^(-x)=  e^(2x)   ⇔(du/dx)e^(-x)=  e^(2x ) ⇔(du/dx)=  e^(3x )⇔

u=(1/3)e^(3x )+c

y=uv ⇔   u=(1/3)e^(3x )+c       v=e^(-x)     
ответ:
y=[(1/3)e^(3x )+c]·e^(-x) 


3)y" - 3y' + 2y =0

линейное однородное с постоянными коэффициентами.

характеристическое уравнение
к²- 3к' + 2 =0   решаем:  к1=2  к2=1.

Фундаментальная система решений: y1=e^(2x)  y2=e^(x)

общее решение 

у=С1·y1+С2·y2=С1·e^(2x) + С2·e^(x)

ответ:  у=С1·e^(2x) + С2·e^(x)

4) y"= cos (x/2)

y"=d(dy/dx)/dx   ⇔d(dy/dx)/dx= cos x/2 ⇔∫d(dy/dx)= ∫(cos (x/2 ))dx⇔
dy/dx=2sin(x/2 )+C1   ⇔  ∫dy=∫(2sin(x/2 )+C1) dx   ⇔

 y= - 4cos (x/2 )+C1x+C2
ответ:
 y= - 4cos (x/2 )+C1x+C2