Дан набор из 239 таких чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор. найдите произведение всех чисел набора.
Пусть исходный набор состоит из чисел a₁, a₂, ..., a₂₃₉. Не умаляя общности, будем считать, что a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₂₃₉. Обозначим S = a₁ + a₂ + ... + a₂₃₉ - сумму всех чисел набора. По условию если заменить все aₓ на (S - aₓ), то получится тот же самый набор.
Для совпадающих наборов суммы совпадают. Поэтому S = (S - a₁) + (S - a₂) + ... + (S - a₂₃₉) S = 239S - (a₁ + a₂ + ... + a₂₃₉) S = 239S - S S = 0
Упорядочим новый набор по возрастанию: S - a₂₃₉ ≤ S - a₂₃₈ ≤ ... ≤ S - a₁. Так как старый и новый набор совпадают, то a₁ = S - a₂₃₉, a₂ = S - a₂₃₈, ..., a₂₃₉ = S - a₁.
Равенство для a₁₂₀ имеет вид a₁₂₀ = S - a₁₂₀, откуда a₁₂₀ = S/2 = 0. Тогда произведение всех чисел равно нулю, так как одно из них равно нулю.
Обозначим S = a₁ + a₂ + ... + a₂₃₉ - сумму всех чисел набора.
По условию если заменить все aₓ на (S - aₓ), то получится тот же самый набор.
Для совпадающих наборов суммы совпадают. Поэтому
S = (S - a₁) + (S - a₂) + ... + (S - a₂₃₉)
S = 239S - (a₁ + a₂ + ... + a₂₃₉)
S = 239S - S
S = 0
Упорядочим новый набор по возрастанию: S - a₂₃₉ ≤ S - a₂₃₈ ≤ ... ≤ S - a₁. Так как старый и новый набор совпадают, то a₁ = S - a₂₃₉, a₂ = S - a₂₃₈, ..., a₂₃₉ = S - a₁.
Равенство для a₁₂₀ имеет вид a₁₂₀ = S - a₁₂₀, откуда a₁₂₀ = S/2 = 0. Тогда произведение всех чисел равно нулю, так как одно из них равно нулю.
ответ. 0.