Существует ли 1000-значное число n, запись которого не содержит цифры 0, равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа n.
Чтобы найти такое число (если оно существует), достаточно найти такое k-значное число A (1000⋮k, чтобы число A можно было записать 1000/k раз и получить 1000-значное число), которое можно разбить на 2 k-значных слагаемых A₁ и A₂, образованных перестановкой цифр числа A. То есть .
И действительно, такой пример можно подобрать: 1269 + 1692 = 2961. Значит, 12691269...1269 + 16921692...1692 = 29612961...2961 (каждое 4-значное число повторяется 250 раз). То есть такое число существует.
Чтобы найти такое число (если оно существует), достаточно найти такое k-значное число A (1000⋮k, чтобы число A можно было записать 1000/k раз и получить 1000-значное число), которое можно разбить на 2 k-значных слагаемых A₁ и A₂, образованных перестановкой цифр числа A. То есть
.
И действительно, такой пример можно подобрать: 1269 + 1692 = 2961. Значит, 12691269...1269 + 16921692...1692 = 29612961...2961 (каждое 4-значное число повторяется 250 раз). То есть такое число существует.
ответ: да