Найти четыре числа, первые три из которых составляют прогрессию, а последние три – арифметическую, если cумма первого и четвертого чисел равна 21, a сумма второго и третьего чисел равна 18.

Первые три числа - a, a*q, a*q^2
Последние три числа - a*q, a*q^2 = a*q+d, a*q^2+d
a + a*q^2 + d = 21
a*q^2 = a*q + d
a*q + a*q + d = 18
Из 2 уравнения
d = a*q^2 - a*q = a*q*(q - 1)
Подставляем в 1 и 3 уравнения
a + a*q^2 + a*q*(q - 1) = 21
2a*q + a*q*(q - 1) = a*q*(2 + q - 1) = a*q*(q + 1) = 18
Преобразуем 1 уравнение
a + a*q^2 + a*q*(q + 1 - 2) = a + a*q^2 + a*q*(q + 1) - 2a*q = 21
Подставляем 2 уравнение
a + a*q^2 - 2a*q + 18 = 21
a + a*q^2 - 2a*q = 3
a*(1 - 2q + q^2) = a(q - 1)^2 = 3
Ясно, что a = 3; (q - 1)^2 = 1
1) q - 1 = -1; q = 0 - не может быть, тогда не будет прогрессии.
2) q - 1 = 1; q = 2; тогда d = a*q*(q - 1) = 3*2*1 = 6

ответ: 3, 6, 12, 18