Может ли число, имеющее ровно 15 делителей, делиться на 100 и на 1000?

Конечно, может. Если число делится на 1000, оно делится и на 100.
Число 1000 имеет 6 делителей:
1000 = 2*2*2*5*5*5 = 2^3 * 5^3
Любое число, имеющее эти делители, будет делиться и на 100, и на 1000.