Два отрезка ab и cd, лежащие в плоскости a, точкой их пересечения e делят пополам. вне плоскости a выбрана точка k так, что ka=kb и kc=kd. докажите, что прямая ke перпендикулярна плоскости а. вычислите длины отрезков ab и cd, если ak=13 см., ek=5 см., kc=5√5 см.

В треугольнике AKB (равнобедренном по условию) КЕ является медианой (тоже по условию), а значит и высотой, т.е. перпендикулярна прямой АВ. Аналогично показывается, что КЕ перпендикулярен прямой СД. Раз КЕ перпендикулярен к каждой из пересекающихся прямых, то он и перпендикулярен плоскости, образованной этими двумя прямыми, т.е. плоскости а.
Из тр-ка АКЕ по теореме Пифагора АЕ²=АК²-ЕК². АЕ²=169-25-144. АЕ=12. Значит АВ=2АЕ=24.
Из тр-ка СКЕ СЕ²=СК²-ЕК². СЕ²=125-25=100. СЕ=10. Значит СД=2СЕ=20