Простого решения, тем более геометрического (пока?) предложить не могу; довольствуюсь тем, что есть.
Запишем каноническое уравнение параболы ы виде y=ax² (т.е. поместим вершину параболы в начало координат и направим ось y вдоль оси симметрии).
Пусть точки A, B, C имеют абсциссы x1, x2, x3 и ординаты соответственно ax1², ax2², ax3².
a) Запишем уравнение нормали к параболе на примере точки A. Производная (и, соответственно, угловой коэффициент касательной) равны 2ax1, соответственно, угловой коэффициент нормали равен (−1)/(2ax1); уравнение нормали имеет вид 2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0
Аналогичные уравнения получаются для нормалей в точках B и C. Найдём, например, точки пересечения нормалей в точках A и B: { 2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0, { 2ax2(y−ax2²) + (x−x2) = 0.
На самом деле, нам достаточно найти одну из координат — например, y (x однозначно выразится через y, т. к. хотя бы одна из прямых не параллельна оси y).
Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований с учётом x1≠x2 получим: y = 2(x1²+x1•x2+x2²) + 1/(2a)
Для того чтобы все три нормали пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы ординаты точек пересечения нормалей (A и B) и (B и С) совпадали. Записываем соответствующее уравнение: 2(x1² + x1²•x2 + x²) + 1/(2a) = 2(x2² + x2•x3 + x3²) + 1/(2a); (x1−x3)(x1+x2+x3) = 0
Поскольку x1≠x3, то получаем окончательное условие перечения всех трёх нормалей в одной точке: (1) x1 + x2 + x3 = 0
b) теперь запишем условие того, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на оси симметрии (она же — ось ординат x=0).
Нас интересует только абсцисса точки пересечения медиан. Середина A1 стороны BC имеет абсциссу (x2+x3)/2. Как известно, медиана AA1 делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому точка перечения медиан имеет абсциссу x1 + (2/3)•((x2+x3)/2−x1) = (x1 + x2 + x3)/3
Таким образом, точка перечения медиан лежит на оси ординат тогда и только тогда, когда выполняется условие (2) x1 + x2 + x3 = 0
Простого решения, тем более геометрического (пока?) предложить не могу; довольствуюсь тем, что есть.
Запишем каноническое уравнение параболы ы виде y=ax² (т.е. поместим вершину параболы в начало координат и направим ось y вдоль оси симметрии).
Пусть точки A, B, C имеют абсциссы x1, x2, x3 и ординаты соответственно ax1², ax2², ax3².
a) Запишем уравнение нормали к параболе на примере точки A. Производная (и, соответственно, угловой коэффициент касательной) равны 2ax1, соответственно, угловой коэффициент нормали равен (−1)/(2ax1); уравнение нормали имеет вид
2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0
Аналогичные уравнения получаются для нормалей в точках B и C. Найдём, например, точки пересечения нормалей в точках A и B:
{ 2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0,
{ 2ax2(y−ax2²) + (x−x2) = 0.
На самом деле, нам достаточно найти одну из координат — например, y (x однозначно выразится через y, т. к. хотя бы одна из прямых не параллельна оси y).
Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований с учётом x1≠x2 получим:
y = 2(x1²+x1•x2+x2²) + 1/(2a)
Для того чтобы все три нормали пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы ординаты точек пересечения нормалей (A и B) и (B и С) совпадали.
Записываем соответствующее уравнение:
2(x1² + x1²•x2 + x²) + 1/(2a) = 2(x2² + x2•x3 + x3²) + 1/(2a);
(x1−x3)(x1+x2+x3) = 0
Поскольку x1≠x3, то получаем окончательное условие перечения всех трёх нормалей в одной точке:
(1) x1 + x2 + x3 = 0
b) теперь запишем условие того, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на оси симметрии (она же — ось ординат x=0).
Нас интересует только абсцисса точки пересечения медиан.
Середина A1 стороны BC имеет абсциссу (x2+x3)/2.
Как известно, медиана AA1 делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому точка перечения медиан имеет абсциссу
x1 + (2/3)•((x2+x3)/2−x1) = (x1 + x2 + x3)/3
Таким образом, точка перечения медиан лежит на оси ординат тогда и только тогда, когда выполняется условие
(2) x1 + x2 + x3 = 0