Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.
Доказательство.Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.
Теорема. Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.
Доказательство.Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.
Доказательство.Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.
В соответствии с Леммой 2Следовательно,
Доказательство.Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.
В соответствии с Леммой 2Следовательно,