1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) +... + 1/(48·49) + 1/(49·50) это ряд, формула которого 1/[n(n+1)]. Известно, что 1/[n(n+1)] =1/n - 1/(n+1) ( проверка: 1/n - 1/(n+1) = [(n+1)-n]/[n(n+1)] = 1/[n(n+1)] ) Представим каждый член ряда в виде разности: (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + + (1/48 - 1/49) + (1/49 - 1/50) Сгруппировав положительные и отрицательные дроби, и взяв в скобки, мы получим разность двух рядов: (1/1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/48 + 1/49) - (1/2 +1/3 + 1/4 +...+ 1/49 + 1/50) Эти ряды имеют по 48 одинаковых дробей, выделим их скобками: 1/1 + (1/2 + 1/3 +...+ 1/48 + 1/49) - (1/2 + 1/3 + 1/4 +...+ 1/49) - 1/50 Если провести вычитание скобок, то останется только разность первого члена первого ряда и последнего второго: 1/1 - 1/50 = 50/50 - 1/50 = 49/50 ответ: Сумма данного ряда 49/50, т.е: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) +...+ 1/(49·50) = 49/50
Известно, что 1/[n(n+1)] =1/n - 1/(n+1)
( проверка: 1/n - 1/(n+1) = [(n+1)-n]/[n(n+1)] = 1/[n(n+1)] )
Представим каждый член ряда в виде разности:
(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + + (1/48 - 1/49) + (1/49 - 1/50)
Сгруппировав положительные и отрицательные дроби, и взяв в скобки, мы получим разность двух рядов:
(1/1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/48 + 1/49) - (1/2 +1/3 + 1/4 +...+ 1/49 + 1/50)
Эти ряды имеют по 48 одинаковых дробей, выделим их скобками:
1/1 + (1/2 + 1/3 +...+ 1/48 + 1/49) - (1/2 + 1/3 + 1/4 +...+ 1/49) - 1/50
Если провести вычитание скобок, то останется только разность первого члена первого ряда и последнего второго: 1/1 - 1/50 = 50/50 - 1/50 = 49/50
ответ: Сумма данного ряда 49/50, т.е:
1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) +...+ 1/(49·50) = 49/50