Бісектриси ad i ce трикутника abc перетинаються в точці о. пряма, симетрична ав відносно се, перетинає пряму, симетричну вс відносно ad, в точці к. доведіть, що ко перпендикулярна ас.
Пусть прямые КE и KD пересекают прямую AC в точках M и N cоответственно. Т.к. треугольники ABD и AND cимметричны относительно AD, то они равны, и, значит, ∠ABD=∠AND. Аналогично, треугольники CBE и CME симметричны относительно CE, поэтому ∠CME=∠CBE, т.е. ∠AND=∠CME=∠B. Значит, треугольник MKN - равнобедренный. Т.к. прямые MK и AB симметричны относительно CE, то расстояния до них от точки О равны. Аналогично расстояния от точки О до прямых BC и NK равны, но расстояния от О до AB и BC тоже равны, т.к. О - точка пересечения биссектрис, т.е. центр окружности, вписанной в ABC. Значит расстояния от О до MK и NK равны, т.е. KO - биссектриса треугольника MKN, который равнобедренный. Значит, KO - перпендикулярна AC.
Т.к. треугольники ABD и AND cимметричны относительно AD, то они равны, и, значит, ∠ABD=∠AND. Аналогично, треугольники CBE и CME симметричны относительно CE, поэтому ∠CME=∠CBE, т.е. ∠AND=∠CME=∠B. Значит, треугольник MKN - равнобедренный.
Т.к. прямые MK и AB симметричны относительно CE, то расстояния до них от точки О равны. Аналогично расстояния от точки О до прямых BC и NK равны, но расстояния от О до AB и BC тоже равны, т.к. О - точка пересечения биссектрис, т.е. центр окружности, вписанной в ABC. Значит расстояния от О до MK и NK равны, т.е. KO - биссектриса треугольника MKN, который равнобедренный. Значит, KO - перпендикулярна AC.