Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение a^x = log_ax имеет единственное решение. в ответе укажите число e*lna.

Ответ:

катя134689

02.10.2020 17:30

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

алгебра97

26.02.2020 15:27

3/5 - 1/3 дроби не сокращай...

Снежана21111

29.03.2023 06:30

Теңдеулерді шеш в×(300-200)=550 памогаите...

Nastya0Musso

22.09.2020 13:45

Машина проехала 60 км. Этот путь составил 4\5части всего пути. Определите, сколько километров составляет весь путь сор только можно написать на бумаге...

Поля200601

31.07.2020 13:55

Первая половина дня 32м вторая половина 40м длина дороги 90м...

Elv26

30.01.2021 23:49

Составь и реши задачи по тоблице...

лёдсовкусомпохмелья

29.09.2022 19:46

Запишите все целые числа больше - 9 и меньше 4 Найдите их сумму...

MatveyGTR

24.05.2022 06:09

Цена груш — m р. за 1 кг, а цена яблок — n р. за 1 кг. Запиши в виде выражения: на сколько 1 кг груш дороже 1 кг яблок (пиши без пропусков между буквами, числами...

87009522377

20.04.2023 00:42

При яких значеннях х значення виразу x(x-7) на 4 менше від значення виразу (2x+1)(x+4)...

staslukutin

18.10.2021 04:32

однажды хитрец предложил лентяю заработать Как только ты будешь переходить через этот мост твои деньги удвоятся, но после каждого раза ты мне должен давать 24 копейки...

chinenko88

25.01.2022 03:19

Смешаны три сорта муки: 12 фунтов по 21 коп., 15 фунтов по 12 коп. и 9 фунтов по 24 коп. за фунт. Сколько стоит фунт смеси?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку