Есть куча из 1001 камня. одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня, выкидывают один из них, а затем любую кучу делят на две меньшие. какие ситуации можно получить? (возможные ответы: 1)в каждой куче только 1 камень; 2)в каждой куче только 3 камня; 3) в каждой куче 4 камня; 4) .в каждой куче 5 камней; 5) в каждой куче 10 камней 6) в каждой куче 500 камней; 7)в каждой куче 600 камней.

6) В каждой куче 500 камней - мы получаем на первом же шаге.
Из кучи 1001 выкидываем 1, а оставшуюся 1000 делим пополам.
1) В каждой куче по 1 камню - наверное, можно получить.
Когда-то остается куча с 2 камнями, делим ее на две кучи по 1 камню.
На этом обе эти кучи выбывают из игры, переходим к другим кучам.
7) В каждой куче 600 камней - получить никак нельзя.
Остальные варианты под сомнением. Думаю, что 2) и 3) получить нельзя,
но доказательств нет. Насчет 4) и 5) не уверен, может и можно.