Вряд выложены 2013 черных и 2013 красных шаров, причём самый левый и самый правый шары чёрные. всегда ли можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все! ) так, чтобы среди них количество красных равнялось количеству чёрных?

Пусть f(k) - разность между количеством красных и черных шаров среди первых  k левых шаров. Тогда f(1)=0-1=-1, т.к. первый шар черный и f(2013+2012)=2013-2012=1 т.к. последний шар тоже черный. Т.к. f(k+1)=f(k)±1, то f(k) пробегает все целые значения между любыми двумя своими значениями, а значит при каком-то k функция f(k) примет значение 0 (т.к. при первом и предпоследнем k она имеет значения разных знаков: -1 и 1). А это и значит, что при каком-то k количество красных и черных будет одинаковым.

P.S. Можно сказать, что здесь мы применили дискретный аналог теоремы о том, что непрерывная функция имеет корень на интервале, если на его концах у функции разные знаки.