Войти Регистрация Спроси ai-bota

Sqrt(1-x^2)*dx в пределах от 1 до 0 с решением

Ответ:

klarabuhantsova

24.07.2020 19:22

$\int\limits^0_{-1} {\sqrt{1-x^2}} \, dx = (*)$

Найдём неопределённый интеграл.

Сделаем замену
$x=\sin{t}; \ \ dx=\cos{t} \, dt \\ \\ (*)= \int 
{\sqrt{1-\sin^2{t}}} \cdot \cos{t} \,dt = \int{\sqrt{\cos^2{t}}} \cdot 
\cos{t} \,dt = \int \cos^2{t} \,dt = \\ \\=\int {\frac{1+\cos{2t}}{2}} 
\,dt = \frac{1}{2} \cdot (\int {1} \,dt + \int {\cos{2t}} 
\,dt)=\frac{1}{2}\cdot (t } + \frac{1}{2} \int {\cos{2t}} \,d(2t))=\\ 
\\$ $\frac{1}{2}\cdot ( t + \frac{1}{2} \sin{2t}})+C=\frac{1}{2}\cdot (t + \frac{1}{2} \sin{2t}})}+C = (*) \\ \\ x=\sin{t}; \ \ t =arcsin \, x \\ \\ (*)=\frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin \, x)}})}+C$

Вычислим определённый интеграл
$\left.{ \frac{1}{2}\cdot (arcsin \, x + \frac{1}{2} \sin{(2\cdot 
arcsin \, x)}})} }\right|_{ -1 }^{ 0 }=\\ \\ =\frac{1}{2} (arcsin 0 + 
\frac{1}{2} \sin{(2\cdot arcsin 0)}}- (arcsin (-1) + \frac{1}{2} 
\sin{(2\cdot arcsin(-1))} \\ \\ =\frac{1}{2} (0 +0}- (-\frac{\pi}{2}+ 
\frac{1}{2} \sin{0}))=\frac{1}{2} \cdot 
(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{\pi}{4}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

annatarasova1991

14.11.2022 17:16

3. Не выполняя арифметические действия, покажите, что: а) произведение 12-55 делится на 11.b) сумма 18-45 делится на У МЕНЯ СОЧ...

GylenkoSasha

06.09.2022 00:17

Выполните действие 8/12-5/12+9/12...

саша10041

26.03.2020 21:49

14 см*5см=...6 см *2 см=......

Brainsetup

18.04.2020 21:26

средний возраст меня, мамы и папы 24 года. Сколько лет моей сестре, если средний возраст меня,мамы,папы,сестры 20 лет? распишите...

nemkovvlad1

14.01.2021 08:57

27 фруктов сколько яблок груш и бананов если их соотношение 2:3:4...

суады

01.05.2020 20:30

Скок будет 1+1 Не отвечать...

kiscaki

06.01.2020 02:21

Тендеуди шешиниз және жауабынызды тексеринз 3(6_×)+12=21...

александра529

05.05.2023 22:07

По2аны раз всем сколько будет 3+3=?...

195920

27.02.2021 10:12

Найдите разложение полинома: (3х-1)^7...

Patriot73

11.05.2023 15:31

Тест 4 класс как записать цифрами число восемсоть три тысячи...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку