Находим производную функции : Применим правило производной частного:ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))f(x)=3x и g(x)=x2+1.Чтобы найти ddxf(x):Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.В силу правила, применим: x получим 1Таким образом, в результате: 3Чтобы найти ddxg(x):дифференцируем x2+1 почленно:Производная постоянной 1 равна нулю.В силу правила, применим: x2 получим 2xВ результате: 2xТеперь применим правило производной деления:−3x2+3(x2+1)2Теперь упростим:−3x2+3(x2+1)2ответ:(−3x²+3)/(x²+1)² Критические точки находим, приравнивая производную нулю: дробь равна 0, если числитель равен 0. -3(х² - 1) = 0 х² = 1 х = +-1. Получили 2 критические точки. Для выяснения минимума и максимума надо определить знак производной вблизи критических точек. Для этого надо подставить значения х левее и правее полученных точек. Получаем: х = -1 - это локальный минимум функции, х = 1 - это локальный максимум функции. ответ: -∞<x<-1; 1<x<∞ - функция убывающая -1<x<1 - функция возрастающая. Подробное решение и график функции приведен в приложении.
Применим правило производной частного:ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))f(x)=3x и g(x)=x2+1.Чтобы найти ddxf(x):Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.В силу правила, применим: x получим 1Таким образом, в результате: 3Чтобы найти ddxg(x):дифференцируем x2+1 почленно:Производная постоянной 1 равна нулю.В силу правила, применим: x2 получим 2xВ результате: 2xТеперь применим правило производной деления:−3x2+3(x2+1)2Теперь упростим:−3x2+3(x2+1)2ответ:(−3x²+3)/(x²+1)²
Критические точки находим, приравнивая производную нулю:
дробь равна 0, если числитель равен 0.
-3(х² - 1) = 0
х² = 1
х = +-1.
Получили 2 критические точки.
Для выяснения минимума и максимума надо определить знак производной вблизи критических точек. Для этого надо подставить значения х левее и правее полученных точек.
Получаем: х = -1 - это локальный минимум функции, х = 1 - это локальный максимум функции.
ответ: -∞<x<-1; 1<x<∞ - функция убывающая
-1<x<1 - функция возрастающая.
Подробное решение и график функции приведен в приложении.