Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интеграл: интеграл arctg(корень x) dx

Ответ:

valentinateleg2607

24.07.2020 17:49

$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Пошаговое объяснение:

$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒

$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{dx}{(1+x)\cdot2\sqrt x}$

Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t

x = t² ⇒ dx = 2t dt

$\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac{t^3dt}{t\cdot(1+t^2)} = \int \frac{t^3dt}{t+t^3} = \int\bigg(1- \frac{t}{t+t^3}\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac{dt}{1+t^2} = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

alekseyanci

27.11.2022 00:06

Найди неизвестное число 30000 - (6000+ и)=17000...

anigrigoryan01

27.11.2022 00:06

4м-4дм-4дм-4дм-4дм= 1м-5см-5см-5см=...

sini1

15.02.2022 07:29

Периметр трикутника abc 17/20. сторона ав 17/50, сторона вс на 9/50 коротша ав. знайти довжину сторони ас....

ulianakosovska0

15.02.2022 07:29

Ось симметрии фигуры- это прямая линия. если перегнуть фигуру по оси симметри, то половинки фигуры совпадут. какие многоугольники на рисунке к 1 имеют ось симметрии?...

polina2004121

15.02.2022 07:29

Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 13, а вычитаемое уменьшить на 30....

Masterpro123

15.02.2022 07:29

Вычисли неизвестное слагаемое z+15120=21760...

Khajiit999

15.02.2022 07:29

Найдите разность дробей и провертье результаи сложением: 3/10-2/25; 2/9-2/15; 17/30-7/24; 4/25-4/35....

Sonya1233210

15.02.2022 07:29

Яне понимаю как это делать постройте угол с градусной мерой, равно: 75% градусной мере развернутого угла 200% градусной меры прямого угла...

rostikptashnik

15.02.2022 07:29

Выполните действия: (7 13⁄15 + 6 6⁄12) + (2 4⁄16 + 5 11⁄5)....

Фиаско1337

15.02.2022 07:29

800 кг овощей надо разложить ящики по 19 кг.найдите, какое количество ящиков нужно, чтобы разложить все овощи...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку