Длина перпендикуляра bo, опущенного из вершины в прямоугольника abcd на диагональ, равна 8 см. co: оа=1: 4. найдите периметр прямоугольника.

BO²=AO*OC (AO=x, OC=4x)
4x²=64
x²=16
x=4
AO=4
OC=16
AC=20
AB=√AO*AC=√4*20=4√5
CB=√CO*AC=√16*20=8√√5

Пусть
х - длина СО
4х - длина ОА
Из подобия треугольников СВО и ВОА имеем соотношение сторон
СО/ОВ = ОВ/ОА
Подставив, имеем
х/8 = 8/4х
4х² = 64
х² = 16
х1 = - 4 не подходит
х2 = 4 см - длина СО
4 * 4 = 16 см - длина ОА
Из треугольника СОВ по теореме Пифагора находим гипотенузу ВС (сторону прямоугольника)
ВС = √(СО)² + (ОВ)² = √ (4² + 8²) = 4√5  см
Из треугольника ВОА по теореме Пифагора находим гипотенузу АВ (вторую сторону прямоугольника)
АВ = √(ОВ)² + (ОА)² = √(8² + 16²) = √(64 + 256) = √ 320 = 8√5 см 
Периметр прямоугольника
Р = 2 · (ВС + АВ) = 2 · (4√5 + 8√5) = 2 *12 *√5 = 24√5 см