Как пишется (не)воспитан, и какая это часть речи

Это краткое прилагательное.
пишется слитно. но в зависимости от контекста. если "мальчик невоспитан", то слитно, так как можно подобрать синоним без "не": мальчик избалован.
если есть наречия степени, например, очень, абсолютно, совсем и тд, то раздельно, тк они усиливают отрицание. абсолютно не воспитан.
если отрицание выражено союзом "а", то раздельно, тк выражено противопоставление: он не воспитан, а груб. 
это лишь совсем небольшой перечень правил, а рассуждать можно долго, это ведь русский язык...