Шестеро школьников решили посадить в школьном дворе 5 деревьев. известно, что каждое дерево сажало разное число школьников и каждый школьник участвовал в посадке одинакового количества деревьев. могло ли так случиться?

Раз разное число школьников сажало каждое, значит это выглядит примерно так:
Первое дерево - 1 школьник; второе - 2 школьника; третье - 3 и так далее. 
Теперь сложим число участников в посадке каждого дерева. 
1 + 2 + 3 + 4 + 5= 15 участников. 
15 не делится нацело на 6, а значит такого не могло случиться.