Интересует не банальный складывания дробей

и так далее...
все складываем и сокращаем соседние слагаемые из разных скобог, кроме первого и последнего:

1/(1•2) + 1/(2•3) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
1/(3•4) + 1/(4•5) = 5/60 + 3/60 = 8/60 = 4/30
1/(5•6) + 1/(6•7) = 7/210 + 5/210 = 12/210

2/3 + 4/30 + 12/210 = 140/210 + 28/210 + 12/210=
180/210= 6/7