Сопределения функции найти ее производную y=sqrt(x) - вопрос №3065729 от capppcappi 18.05.2021 08:25

Question

Математика: Сопределения функции найти ее производную y=sqrt(x)

capppcappi · Answer

1) берем точку х₀, даем приращение Δх, получаем новую точку (х₀+Δх)
2) находим приращение функции
Δ у=f(х₀+Δх)-f(х₀)=√(х₀+Δх)-√х₀
3) вычисляем предел отношения приращения функции к приращению аргумента
$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{ \sqrt{(x_{o}+\triangle x)}- \sqrt{x_{o}} }{\triangle x} = \frac{0}{0} =(*)$
получили неопределенность (0/0), устраняем её избавляясь от иррациональности в числителе
Умножаем числитель и знаменатель на выражение
(√(х₀+Δх)+√х₀)
Получим в числителе формулу разности квадратов:
(√(х₀+Δх)-√х₀)(√(х₀+Δх)+√х₀)=(√(х₀+Δх))²-(√х₀)²=Δх
И тогда
$(*)= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle x}{( \sqrt{(x_{o}+\triangle x)}+\sqrt{x_{o}} )\cdot\triangle x}= \frac{1}{2 \sqrt{x_{o}} }$
Так как точка выбрана произвольно
то
$(\sqrt{x} )`= \frac{1}{2 \sqrt{x} }$