Первоначально на доске написано число 1. разрешается любое написанное на доске число умножить на 2 или переставить в нём цифры. можно ли таким образом получить 209?

Нет, нельзя.
Т.к. при умножении на 2 любого натурального числа, мы никак не можем получить 9.