Войти Регистрация Спроси ai-bota

Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

Ответ:

magiklen

10.07.2020 15:51

$\int \frac{tgx\, dx}{1-ctg^2x}=[\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; ]=\int \frac{t\, dt}{(1-\frac{1}{t^2})(1+t^2)}=\\\\=\int \frac{t^3\, dt}{(t^2-1)(1+t^2)}=Q\\\\\frac{t^3}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+1}\\\\t^3=A(t+1)(t^2+1)+B(t-1)(t^2+1)+(Ct+D)(t-1)(t+1)\\\\t=1:\; \; A=\frac{t^3}{(t+1)(t^2+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\\\\t=-1:\; \; B=\frac{t^3}{(t-1)(t^2+1)}=-\frac{1}{4}\\\\\\t^3\; |\; A+B+C=1\; ,\; \; C=1-A-B=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$

$t^2\; |\; A-B+D=0\; ,\; \; D=-A+B=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\\\\\\Q=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{t-\frac{1}{2}}{t^2+1}\, dt=\frac{1}{4}\cdot ln|t-1|-\frac{1}{4}\cdot ln|t+1|+\\\\+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{t-1}{t+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|-\frac{1}{2}\cdot arctgt+C=\\\\=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|tg^2x+1|-artg\, (tgx)\Big)+C=$

$=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln(tg^2x+1)-x\Big)+C=$

$=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+ln\sqrt{tg^2x+1}-\frac{1}{2}x+C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

milkyyyw

26.11.2022 05:55

Розв яжіть рівняння 5х-2=3х-8...

Диа773

24.01.2021 03:11

Вычислите значение выражения (5,6 - 7,2):(-0,2)...

katrin7878

24.01.2021 03:11

1,29:43+18:0,15+9:45-1,4:0,35 в стопчик...

Jdjdhdh66t

18.11.2021 07:02

В прямоугольнике одна сторона на 1 см больше другой, а его периметр 50 см. Найдите площадь этого прямоугольника. В ответ укажите только число без пробелов и прочих...

htntjtjt

18.11.2021 07:02

Трижды в день Саша ест конфеты. Утром было 16 конфет. Каждый раз он съедает ровно половину тех конфет, что остаются. Сколько конфет останется у Саши вечером?...

настя7500

03.06.2021 10:43

Задачу сума двох чисел дорівнює 134,1 а їх різниця 12,7 Знайти ці числа...

NAZAR22847

18.11.2021 07:02

Решите пожайлуста a+b=4 2a+7b=3...

Jason19

18.11.2021 07:02

Які з даних функцій є прямою пропорційністю? ...

tasn

29.04.2023 18:39

Напишите занимательную задачу, и её решение...

kiranay2007

08.05.2022 15:14

Яка з точок належить графіку функції у = 6+ х (1:7) (7:1) (-2:5) (5:-1)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку