При каком, выраженном через a и b, значении m выражение x(x+a)(x+2b)(x+a+2b)+m^2 будет полным квадратом?

Разобъем произведение на две части и посчитаем каждую из них:

х(x+a+2b) = x^2 + ax + 2bx.

(x+a)(x+2b) = x^2 + ax + 2bx + 2ab.

Обозначим: x^2 + ax + 2bx = t.

Тогда исходное выражение примет вид:

t(t + 2ab)  + m^2 = t^2 + 2abt + m^2.
Данное выражение будет квадратом суммы при m = ab.

ответ: m = ab.