Сколько существует чисел, меньших 10 ^ 5, все цифры которых различны?

Найдем с правила умножения отдельно количество таких одно, двух, трех, четырех, и пьятицифрових чисел. Согласно получим 9,9 * 9,9 * 9 * 8,9 * 9 * 8 * 7, и 9 * 9 * 8 * 7 * 6 цифр. Заметим, что и количество семицифрових чисел, в записи которых используется цифра 7, можно было бы получить с операции сложения и правила умножения, т.е. подать ее в виде суммы: 
1*10*10*10*10*10*10+8*1*10*10*10*10+8*9*1*10*10*10*10+8*9*9*1*10*10*10+8*9*9*9*1*10*10+8*9*9*9*9*1*10+8*9*9*9*9*9*1. 
Первое слагаемое определяет количество всех семицифрових чисел первой цифрой 7 Второй - количество семицифрових цифр, вторая цифра которых цифрой 7, принимаются только те из них, у которых первая цифра не 0 и не 7 есть для первой цифры остается 8 возможностей. Но здесь уже есть 9 возможностей, потому что можно использовать цифру 0

Если  взять  через размещения  ,то  раз все цифры не  повторяются.
то  для  однозначных  это 9 чисел
для  двузначных  A(10,2)-A(9,1)   вычитанием   мы исключаем все комбинации  при которых нуль спереди.   3 значных анологично:  A(10,3)-A(9,2) 
4  значных:  A(10,4)-A(9,3)
В  итоге всего  N=  9+A(10,2)+A(10,3)+A(10,4)-((A(9,1)+A(9,2)+A(9,3))  

Ну  а формула размещений:  n!/(n-k)!
Там  сами досчитаете