Инт ( 2^arctgx-4^sqrt(5+arctgx))/(1+x^2) dx

если я правильно понял условие, то

int =

= int ( 2*arctg(x))dx - int (4*sqrt(5+arctg(X))/(1+x*x))dx

первый интеграл табличный, равен 2*(x*arctg(x)-ln(sqrt(1+x*x)) +C

второй преобразуется так: dx/(1+x*x) = d (arctg(X))

тоже табличный как int (sqrt(ax+b))dx

ответ

int = 2*(x*arctg(x)-ln(sqrt(1+x*x)) - 8/3*(5+arctg(x))^(3/2)+C