Гаджи заметил что если из числа вычесть сумму его цифр то получится число кратное 9.докажите этот факт.

Это всё легко:
Возьмем любое число и и каждую цифру заменим буквой.(Будем далее считать что n - количество цифр в этом числе )
abcdmvk(это всё одно число)тогда это число можно приставить как сумму произведений цифры этого числа на первое число его разряда(десятки на 10, сотни на 100 и тд) a*10^n+b*10^(n-1)v*10+n
Теперь вычтем из этого числа сумму его чисел(a+b+c++v+n)
999999(n  девяток)а+99999(n-1 девяток)+9v.Я думаю понятно что это делится на 9 так как можно вынести общий множитель 9