Войти Регистрация Спроси ai-bota

Интеграл почему так и каким образом это вычисляется?

Ответ:

13032005mahri

01.10.2020 23:02

Integral [-1;0] dx корень(1-x^2) =
{x=sin(t);dx=cos(t)dt}
... = integral [3pi/2;2pi] dt cos^2(t) =
= integral [3pi/2;2pi] dt (cos(2t)+1)/2 =
= integral [3pi/2;2pi] dt cos(2t)/2 + integral [3pi/2;2pi] dt 1/2 =
= sin(2t)/4 [3pi/2;2pi] + t/2 [3pi/2;2pi]=
= 0 + pi/4 = pi/4

0,0(0 оценок)

Ответ:

tatleb

01.10.2020 23:02

$\int\sqrt{1-x^2}dx\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}x=sint\\dx=cosdt\end{array}\right|\Rightarrow\int\sqrt{1-sin^2t}\cdot costdt\\\\\\=\int\sqrt{cos^2t}\cdot costdt=\int cost\cdot costdt=\int cos^2tdt=(*)\\----------------------\\cos2t=2cos^2t-1\to2cos^2t=cos2t+1\to cos^2t=\frac{1}{2}(cos2t+1)\\--------------------------\\\\(*)=\int\left[\frac{1}{2}(cos2t+1)\right]dt=\frac{1}{2}\int(cos2t+1)dt=\frac{1}{2}\int cos2tdt+\frac{1}{2}\int dt$

$=\frac{1}{2}sin2t\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t=\frac{1}{4}sin2t+\frac{1}{2}t=\frac{1}{4}\cdot2sintcost+\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}sintcost+\frac{1}{2}t\\\\=\frac{1}{2}(sintcost+t)=(*)\\-----------------------------\\x=sint\Rightarrow t=arcsinx\\\\sin^2t+cos^2t=1\to cos^2t=1-sin^2t\to cost=\sqrt{1-sin^2t}\\\to cost=\sqrt{1-x^2}\\----------------------------\\\\(*)=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+arcsinx)$

===========================================================

$\int\limits_{-1}^0\sqrt{1-x^2}dx=\left\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+arcsinx)\right]^0_{-1}\\\\=\frac{1}{2}(0\sqrt{1-0^2}+arcsin0)-\frac{1}{2}(-1\sqrt{1-(-1)^2}+arcsin(-1))\\\\=\frac{1}{2}\cdot0-\frac{1}{2}(-1\sqrt{1-1}-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}\cdot(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{4}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

nastyahanna4728

20.03.2023 16:43

A)x+3 1/3=5 б)2 5/12-х=3/7 найдите неизвестное число....

Viralave

08.02.2020 10:13

Замените в числе * так чтобы число 27*52*6 делилось на 3...

Plild

30.06.2020 13:32

Отметьте на координатной плоскости точки м (1, 2) и n( -1, 6). проведите отрезок мn. постройте отрезом симметричный отрезку мn, относительно оси абцисс и найдите координаты концов...

MCЯнуля

27.12.2021 11:50

Найдите среднее арифметическое чисел -17, 39, - 54, 0, - 103, 21. 15 б, , молю, , (желательно расписать)...

daniil9211

19.10.2022 18:54

Для приготовления молочного коктейля смешивают молоко с мороженым в отношении 5: 2 . сколько потребуется мороженого на 3 л молока ( считаем, что масса 1 л молока - 1 кг)?...

TvaylatHale123

25.05.2021 05:11

11 ч 35 мин + 2 ч 55 мин= 55мин 20 сек - 4 мин 35 сек= 14 ч × 4=...

emin551

01.03.2022 01:45

Вычислите производную функцию у=3sin3x...

elizavetava

04.07.2021 01:03

1столбик примеры а, б решение с действиями...

danilatnt

15.07.2021 10:39

Выполни действие по образцу и сделай проверку...

алисаалисаалиса1

15.11.2020 11:55

Определи ординату данной точки: A(−9;−5)....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку