4. Получили две точки: x = 1 и x = -1. Это наши кандидаты на экстремумы.
5. Теперь проверим, являются ли эти точки экстремумами или не экстремумами. Для этого построим таблицу знаков производной справа и слева от каждой точки. Знак производной показывает, является ли функция возрастающей (+) или убывающей (-) в данной точке.
Исследуем точку x = 1:
Подставим значение, меньше 1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении слева от x = 1.
Подставим значение, больше 1, например, x = 2, в производную:
y'(2) = 3(2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении справа от x = 1.
Получили, что функция убывает слева от x = 1 и возрастает справа от x = 1. Значит, точка x = 1 является локальным минимумом функции.
Исследуем точку x = -1:
Подставим значение, меньше -1, например, x = -2, в производную:
y'(-2) = 3(-2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении слева от x = -1.
Подставим значение, больше -1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении справа от x = -1.
Получили, что функция возрастает слева от x = -1 и убывает справа от x = -1. Значит, точка x = -1 является локальным максимумом функции.
Таким образом, экстремумы функции y = x³ - 3x + 2 - это локальный минимум при x = 1 и локальный максимум при x = -1.
x=-1 x=1
+ _ +
-1 1
max min
Найдем экстремумы функции y = x³ - 3x + 2. Для этого нам понадобится производная функции.
1. Найдем производную функции y по x:
y' = 3x² - 3.
2. Решим уравнение y' = 0 для поиска стационарных точек (точек, в которых значение производной равно нулю):
3x² - 3 = 0.
3. Решим полученное уравнение:
3x² = 3,
x² = 1,
x = ±1.
4. Получили две точки: x = 1 и x = -1. Это наши кандидаты на экстремумы.
5. Теперь проверим, являются ли эти точки экстремумами или не экстремумами. Для этого построим таблицу знаков производной справа и слева от каждой точки. Знак производной показывает, является ли функция возрастающей (+) или убывающей (-) в данной точке.
Исследуем точку x = 1:
Подставим значение, меньше 1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении слева от x = 1.
Подставим значение, больше 1, например, x = 2, в производную:
y'(2) = 3(2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении справа от x = 1.
Получили, что функция убывает слева от x = 1 и возрастает справа от x = 1. Значит, точка x = 1 является локальным минимумом функции.
Исследуем точку x = -1:
Подставим значение, меньше -1, например, x = -2, в производную:
y'(-2) = 3(-2)² - 3 = 9.
Значит, функция возрастает при движении слева от x = -1.
Подставим значение, больше -1, например, x = 0, в производную:
y'(0) = 3(0)² - 3 = -3.
Значит, функция убывает при движении справа от x = -1.
Получили, что функция возрастает слева от x = -1 и убывает справа от x = -1. Значит, точка x = -1 является локальным максимумом функции.
Таким образом, экстремумы функции y = x³ - 3x + 2 - это локальный минимум при x = 1 и локальный максимум при x = -1.