Существует ли трехзначное число, равное произведению его цифр?

Нет.
Возьмем максимальное трёхзначное число 999. Произведение равно 726. 

Нет. 
Пусть 100a + 10b + c = a*b*c, но b*c < 100, то есть a*b*c < 100a, то есть 100a + 10b + c < 100a и 10b + c < 0, что недопустимо.

Нет. 
Пусть 100a + 10b + c = a*b*c, но b*c < 100, то есть a*b*c < 100a, то есть 100a + 10b + c < 100a и 10b + c < 0, что недопустимо.
или
100а+10в+с=а*в*с 
10в+с=а*(в*с-100) 
т. к. а, в, с [0,9], то в*с-100<0, а 10в+с>0
Из интернета, но ответ верный))