Найти значение выражения 1⋅4+2⋅7+3⋅10+…+100⋅301.

 Запишем  

Получим 
  сумма арифметической прогрессий и 
       
заменим для удобства 
 
это сумма вычисляется по формуле , ее можно доказать или вывести
 

S-(1+2+3...+100)=S-100*101/2=S-5050=1*3+2*6+3*9+100*300
(S-5050)/3=1^2+2^2+3^2+100^2  тут  можно применить  формулу Архимеда
1^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6  n=100   (S-5050)/3=101*201*100/6=338350
(S-5050)=338350*3=1015050  S=1015050+5050=1020100.При  необходимости  могу написать  вывод формулы Архимеда,она выводится  через разность кубов