Если сложить все числа от 1 до 100, в затем из суммы вычесть все числа от 1 до 99, сколько останется?

Если рассматривать сумму от 1 до 100, и от 1 до 99 то это будет арифметическая прогрессия, с шагом в единицу:
S₁₀₀=(a₁+a₁₀₀)*100/2=(1+100)*50=5050
S₉₉=(a₁+a₉₉)*99/2=(1+99)*99/2=4950
S₁₀₀-S₉₉=5050-4950=100  - это и есть остаток

ответ 100