Впрямоугольный треугольник с катетами, равными 2 см и 4 см, впишите прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам треугольника.

Надо определить функцию зависимости площади заданного прямоугольника от величины его сторон на катетах.

Пусть х - сторона на катете 2, а у - сторона на катете 4.

Из подобия треугольников с остатками сторон на катетах получаем:

у/(2 - х) = (4 - у)/х.

ху = (2 - х)(4 - у) = 8 - 4х - 2у + ху.

8 - 4х - 2у = 0.

Отсюда находим зависимость у от х:   у = 4 - 2х.

Получаем формулу площади искомого прямоугольника:

S = xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x².

Производная S' = 4 - 4x = 0. Это экстремум функции. х = 4/4 = 1.

Определяем знаки производной левее и правее точки х = 1.

х =      0,5       1        1,5

y' =      2         0         -2.     Как видим, в точке х = 1 максимум.

у = 4 - 2*1 = 4 - 2 = 2.

ответ: вписанный прямоугольник имеет стороны 1 и 2.