Докажем, что n³+11n делится на 6 при любом целом n. Это равносильно тому, что n(n²+11) при любом натуральном n (а) делится на 2 и (б) делится на 3.
(а) Если n чётное, то утвеждение очевидно. Если n имеет остаток 1 при делении на 2, то n²+11 делится на 2 нацело, что и требовалось.
(б) Если n делится на 3, утверждение очевидно. Если n даёт остаток 1 при делении на 3, то n²+11 делится на 3 нацело. Аналогично, если n даёт остаток 2 при делении на 3, то n²+11 делится на 3 нацело.
Таким образом, при любом целом n число n³+11n делится на 2 и на 3, значит, оно делится на 6, тогда число (n³+11n)/6=n³/6+11n/6 будет целым.
(а) Если n чётное, то утвеждение очевидно. Если n имеет остаток 1 при делении на 2, то n²+11 делится на 2 нацело, что и требовалось.
(б) Если n делится на 3, утверждение очевидно. Если n даёт остаток 1 при делении на 3, то n²+11 делится на 3 нацело. Аналогично, если n даёт остаток 2 при делении на 3, то n²+11 делится на 3 нацело.
Таким образом, при любом целом n число n³+11n делится на 2 и на 3, значит, оно делится на 6, тогда число (n³+11n)/6=n³/6+11n/6 будет целым.