Доказать что у многоугольника с четным числом сторон - вопрос №2446901 от xfcsfttvd 03.05.2022 11:21

Question

Математика: Доказать что у многоугольника с четным числом сторон вписанном в окружность сумма углов на четных местах равна сумме углов на нечетных местах такой нет ибо я сам ее придумал кто решит 100

xfcsfttvd · Answer

Возьмем произвольный 6-угольник и рассмотрим его. Для начало обозначим углы как показано на рисунке.
Разобьем его на четырехугольники , очевидно то они все будут так же описанные. По теореме о вписанном четырехугольнике , сумма противоположенных углов должна быть равна. То есть
$1''+3=2+4'\\
2''+4=3+5'\\
3''+5=4+6'\\
4''+6=5+1'\\
5''+1=6+2'\\
6''+2=1+3' \\
$
Сложим все эти углы по парам
$
(1+3+5)+(1''+3''+5'')=(2+4+6)+(4'+6'+2') \\
(1+3+5)+ (1'+3'+5') =(2+4+6)+(2''+4''+6'')$
сложим опять и учитывая что 1'+1''=1

и.т.д
$2(1+3+5)+1+3+5=2(2+4+6)+2+4+6\\
3(1+3+5)=3(2+4+6)\\
1+3+5=2+4+6$

Доказать что у многоугольника с четным числом сторон вписанном в окружность сумма углов на четных ме