Щоб знайти проміжки зростання функції f(x) = x/4 + 9/x, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і визначити її знаки.
Похідна функції f(x) може бути обчислена за до правил диференціювання:
f'(x) = (1/4) - (9/x^2)
Тепер давайте проаналізуємо знаки похідної, щоб визначити проміжки зростання функції.
1. Знайдемо значення x, для яких f'(x) = 0:
(1/4) - (9/x^2) = 0
1/4 = 9/x^2
x^2 = 9 * 4
x^2 = 36
x = ±6
Таким чином, ми маємо дві критичні точки: x = 6 та x = -6.
2. Розглянемо проміжки між цими критичними точками та за межами їх:
a) Для x < -6:
Оберніть увагу, що функція f(x) визначена для x ≠ 0. Тому в проміжку x < -6 вона також буде визначена. Перевіримо знак похідної у цьому проміжку.
Підставимо x = -7 в похідну:
f'(-7) = (1/4) - (9/(-7)^2)
= (1/4) - (9/49)
= (49 - 36) / 196
= 13 / 196
> 0
Отже, на проміжку x < -6 похідна f'(x) є додатньою, що означає, що функція f(x) зростає на цьому проміжку.
b) Для -6 < x < 6:
Знову перевіримо знак похідної у цьому проміжку, але спочатку візьмемо будь-яке значення x на цьому проміжку і підставимо його в похідну, наприклад, x = 0:
f'(0) = (1/4) - (9/0^2)
= (1/4) - (9/0)
= (1/4) - ∞
= -∞
Таким чином, на проміжку -6 < x < 6 похідна f'(x) є від'єм
Щоб знайти проміжки зростання функції f(x) = x/4 + 9/x, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і визначити її знаки.
Похідна функції f(x) може бути обчислена за до правил диференціювання:
f'(x) = (1/4) - (9/x^2)
Тепер давайте проаналізуємо знаки похідної, щоб визначити проміжки зростання функції.
1. Знайдемо значення x, для яких f'(x) = 0:
(1/4) - (9/x^2) = 0
1/4 = 9/x^2
x^2 = 9 * 4
x^2 = 36
x = ±6
Таким чином, ми маємо дві критичні точки: x = 6 та x = -6.
2. Розглянемо проміжки між цими критичними точками та за межами їх:
a) Для x < -6:
Оберніть увагу, що функція f(x) визначена для x ≠ 0. Тому в проміжку x < -6 вона також буде визначена. Перевіримо знак похідної у цьому проміжку.
Підставимо x = -7 в похідну:
f'(-7) = (1/4) - (9/(-7)^2)
= (1/4) - (9/49)
= (49 - 36) / 196
= 13 / 196
> 0
Отже, на проміжку x < -6 похідна f'(x) є додатньою, що означає, що функція f(x) зростає на цьому проміжку.
b) Для -6 < x < 6:
Знову перевіримо знак похідної у цьому проміжку, але спочатку візьмемо будь-яке значення x на цьому проміжку і підставимо його в похідну, наприклад, x = 0:
f'(0) = (1/4) - (9/0^2)
= (1/4) - (9/0)
= (1/4) - ∞
= -∞
Таким чином, на проміжку -6 < x < 6 похідна f'(x) є від'єм