Для того чтобы уравнение имело два корня, выражение под корнем в левой части уравнения должно быть неотрицательным и дискриминант уравнения должен быть положительным.
Рассмотрим выражение под корнем в левой части уравнения: √x² - 5x + √x² - 9x + 20.
Для того, чтобы это выражение было неотрицательным, оба его слагаемых должны быть неотрицательными. Заметим, что оба слагаемых являются квадратными трехчленами.
x² - 5x должно быть неотрицательным:
Решаем неравенство x² - 5x ≥ 0.
Факторизуем его: x(x - 5) ≥ 0.
Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 0 и x ≥ 5.
x² - 9x + 20 должно быть неотрицательным:
Решаем неравенство x² - 9x + 20 ≥ 0.
Факторизуем его: (x - 4)(x - 5) ≥ 0.
Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 4 и x ≥ 5.
Итак, из двух условий выше, интервал, в котором оба условия выполняются, это x ≥ 5.
Теперь рассмотрим правую часть уравнения: √а × √x - 5.
Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным.
Для того чтобы уравнение имело два корня, выражение под корнем в левой части уравнения должно быть неотрицательным и дискриминант уравнения должен быть положительным.
Рассмотрим выражение под корнем в левой части уравнения: √x² - 5x + √x² - 9x + 20.
Для того, чтобы это выражение было неотрицательным, оба его слагаемых должны быть неотрицательными. Заметим, что оба слагаемых являются квадратными трехчленами.
x² - 5x должно быть неотрицательным:
Решаем неравенство x² - 5x ≥ 0.
Факторизуем его: x(x - 5) ≥ 0.
Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 0 и x ≥ 5.
x² - 9x + 20 должно быть неотрицательным:
Решаем неравенство x² - 9x + 20 ≥ 0.
Факторизуем его: (x - 4)(x - 5) ≥ 0.
Получаем два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 4 и x ≥ 5.
Итак, из двух условий выше, интервал, в котором оба условия выполняются, это x ≥ 5.
Теперь рассмотрим правую часть уравнения: √а × √x - 5.
Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным.
Дискриминант уравнения √а × √x - 5 = 0 равен: D = 25 - 4а.
D > 0
25 - 4а > 0
4а < 25
а < 25/4
Таким образом, для того чтобы уравнение имело два корня, параметр а должен быть меньше 25/4.
Наименьшим целым значением параметра а, удовлетворяющим этому условию, будет а = 6.
При а = 6, уравнение √x² - 5x + √x² - 9x + 20 = √6 × √x - 5 будет иметь два корня при x ≥ 5.
Пошаговое объяснение: