Для знаходження розв'язку даного диференціального рівняння, можемо скористатися методом розділення змінних.
Почнемо зі записування даного ДР:
у" - 4у' = 0
Для зручності введемо нову змінну:
v = у'
Тоді отримаємо:
v' - 4v = 0
Це рівняння можна легко вирішити. Знайдемо загальний розв'язок цього рівняння:
v' - 4v = 0
v' = 4v
1/v ⋅ dv = 4 ⋅ dx
Інтегруємо обидві частини:
∫ (1/v) dv = 4 ∫ dx
ln|v| = 4x + C1
де C1 - довільна постійна.
Тепер, враховуючи, що v = у', маємо:
ln|у'| = 4x + C1
Подальше інтегрування дасть нам розв'язок відносно y:
∫ (1/у') du = ∫ (4x + C1) dx
ln|у'| = 2x^2 + C1x + C2
де C2 - ще одна довільна постійна.
Тепер можемо визначити значення початкових умов, коли у = 1 при х = 0:
ln|1'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2
ln|1| = C2
C2 = 0
Також, коли у = 0 при х = 0:
ln|0'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2
ln|0| = 0 + 0 + 0
ln|0| = 0
Проте, ln(0) не визначений, тому ми не можемо використовувати y = 0 при x = 0 як початкову умову.
Отже, за умови, що y = 1 при x = 0, отримуємо:
ln|у'| = 2x^2 + C1x
у' = e^(2x^2 + C1x)
у = ∫ e^(2x^2 + C1x) dx
Зауважте, що інтеграл ∫ e^(2x^2 + C1x) dx не може бути виражений у термінах елементарних функцій. Тому, в цьому випадку, розв'язок ДР буде представляти функціональне вираз.
Для знаходження розв'язку даного диференціального рівняння, можемо скористатися методом розділення змінних.
Почнемо зі записування даного ДР:
у" - 4у' = 0
Для зручності введемо нову змінну:
v = у'
Тоді отримаємо:
v' - 4v = 0
Це рівняння можна легко вирішити. Знайдемо загальний розв'язок цього рівняння:
v' - 4v = 0
v' = 4v
1/v ⋅ dv = 4 ⋅ dx
Інтегруємо обидві частини:
∫ (1/v) dv = 4 ∫ dx
ln|v| = 4x + C1
де C1 - довільна постійна.
Тепер, враховуючи, що v = у', маємо:
ln|у'| = 4x + C1
Подальше інтегрування дасть нам розв'язок відносно y:
∫ (1/у') du = ∫ (4x + C1) dx
ln|у'| = 2x^2 + C1x + C2
де C2 - ще одна довільна постійна.
Тепер можемо визначити значення початкових умов, коли у = 1 при х = 0:
ln|1'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2
ln|1| = C2
C2 = 0
Також, коли у = 0 при х = 0:
ln|0'| = 2(0)^2 + C1(0) + C2
ln|0| = 0 + 0 + 0
ln|0| = 0
Проте, ln(0) не визначений, тому ми не можемо використовувати y = 0 при x = 0 як початкову умову.
Отже, за умови, що y = 1 при x = 0, отримуємо:
ln|у'| = 2x^2 + C1x
у' = e^(2x^2 + C1x)
у = ∫ e^(2x^2 + C1x) dx
Зауважте, що інтеграл ∫ e^(2x^2 + C1x) dx не може бути виражений у термінах елементарних функцій. Тому, в цьому випадку, розв'язок ДР буде представляти функціональне вираз.
Таким чином, розв'язок ДР у"-4у'=0 з початково
Пошаговое объяснение: