У Васі був дуже гарний паперовий опуклий 14-кутник, усі сторони якого були рівними. Його молодший брат знайшов ножиці і акуратно розрізав його по прямій лінії на дві частини, так що вийшло 2 багатокутники, (не обов'язково однакові), потім він взяв один з отриманих багатокутників і розрізав його по прямій лінії ще на дві частини. Так він повторював до тих пір, поки на столі не виявилось 11 багатокутників з однаковою кількістю кутів. Яка кількість кутів могла бути у кожного з цих багатокутників? Знайдіть усі рішення і доведіть, що інших немає.

Відповідь:

4 кути

Покрокове пояснення:

Спочатку деяк того, як змінюється кількість кутів при розрізання багатокутника (спробуй це на практиці - виріж з паперу багатокутник, прономеруй всі його кути, а тоді розріж).

1) Якщо лінія розрізу виходить з кута і заходить в інший кут, загальна кількість кутів у двох нових багатокутниках збільшується на 2.

2) Якщо лінія розрізу перетинає сторону багатокутника, а заходить в кут, загальна кількість кутів у двох нових багатокутниках збільшується на 3.

3) Якщо лінія розрізу перетинає дві сторони багатокутника, то загальна кількість кутів у двох нових багатокутниках збільшується на 4

Те, що ми отримали 11 багатокутників, означає, що було зроблено 10 розрізів.

Якщо всі розрізи були б першого типу, то загальна кількість кутів становила би: N = 14 + 10*2 = 34.

Якщо всі розрізи були б третього типу, то загальна кількість кутів становила би: N = 14 + 10*4 = 54

Якщо розрізи різного типу, то загальна кількість кутів 34 ≤ N ≤ 54.

Оскільки всі 11 багатокутників з однаковою кількістю кутів, то N має ділитись на 11. Між числами 34 і 54 є тільки одне таке число: 44.

ВІдповідно, кожний з отриманих багатокутників має 44 : 11 = 4 кути.