Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y=x^2, y = x+2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома заданими функціями, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл площі між цими функціями на відрізку, де вони перетинаються.

Спочатку знайдемо точки перетину функцій y = x^2 та y = x + 2. Поставимо їх у рівняння:

x^2 = x + 2

x^2 - x - 2 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Застосуємо факторизацію або квадратне рівняння:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отримали два розв'язки: x = 2 і x = -1.

Тепер обчислимо інтеграл площі між цими функціями на відрізку від x = -1 до x = 2. Функція y = x + 2 знаходиться над функцією y = x^2 на цьому відрізку.

Площа фігури S може бути обчислена за формулою:

S = ∫(x + 2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.

S = ∫(2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.

Знайдемо відповідний інтеграл:

S = [2x - (x^3 / 3)] | від x = -1 до x = 2

S = [2(2) - (2^3 / 3)] - [2(-1) - ((-1)^3 / 3)]

S = [4 - (8 / 3)] - [-2 + (1 / 3)]

S = 4 - (8 / 3) + 2 - (1 / 3)

S = 12/3 - 8/3 + 6/3 - 1/3

S = 9/3

S = 3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x + 2, дорівнює 3 одиницям квадратних.