Якщо д^2z/dy^2 > 0, то точка (x, y) є точкою мінімуму функції, а якщо д^2z/dy^2 < 0, то точка (x, y) є точкою максимуму. Якщо д^2z/dy^2 = 0, то цього достатньо для того, щоб сказати, що досліджувана точка не є екстремумом і потрібно проводити додатковий дослід.
Знайдемо значення другої похідної за y в точках (x, x):
d^2z/dy^2 = 4x.
Таким чином, для x > 0 точка (x, x) є точкою мінімуму, а для x < 0 – точкою максимуму функції.
Отже, функція має мінімум у точках (x, y) = (t, t), де t > 0, та максимум у точках (x, y) = (t, t), де t < 0.
Щоб дослідити функцію на екстремум, необхідно знайти всі точки, в яких градієнт функції дорівнює нулю. Градієнт функції має вигляд:
∇z = (dz/dx, dz/dy)
Знайдемо похідні функції за x та y:
dz/dx = 2x - 2y - 2y = 2x - 4y,
dz/dy = 4y - 2x - 2z.
Зробимо їх рівними нулю і вирішимо систему рівнянь:
2x - 4y = 0,
4y - 2x - 2z = 0.
Розв’язавши ці рівняння, отримаємо:
x = y,
z = x^2 - 2xy.
Підставляємо знайдене значення z у вираз для градієнту за y:
dz/dy = 4y - 2x - 2(x^2 - 2xy) = 4y - 2x^2 - 2xy = 2(x-y)^2 - 2x^2.
Тепер знайдемо другі похідні функції за x та y:
d^2z/dx^2 = 2,
d^2z/dy^2 = 8x - 4y.
Підставляємо значення x = y у другу похідну за y:
d^2z/dy^2 = 8x - 4x = 4x.
Якщо д^2z/dy^2 > 0, то точка (x, y) є точкою мінімуму функції, а якщо д^2z/dy^2 < 0, то точка (x, y) є точкою максимуму. Якщо д^2z/dy^2 = 0, то цього достатньо для того, щоб сказати, що досліджувана точка не є екстремумом і потрібно проводити додатковий дослід.
Знайдемо значення другої похідної за y в точках (x, x):
d^2z/dy^2 = 4x.
Таким чином, для x > 0 точка (x, x) є точкою мінімуму, а для x < 0 – точкою максимуму функції.
Отже, функція має мінімум у точках (x, y) = (t, t), де t > 0, та максимум у точках (x, y) = (t, t), де t < 0.