У конус, радіус основи якого дорівнює R, вписано правильну трикутну піраміду. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут а(альфа). Знайдіть:
1)висоту піраміди
2)сторону основи піраміди
3)твірну конуса
4) площу осьового перерізу конуса
5)площу основи піраміди

Відповідь:

Для розв'язання цієї задачі введемо наступні позначення:

l - довжина бічного ребра піраміди;

h - висота піраміди;

a - сторона основи піраміди;

α - кут між бічним ребром піраміди та площиною основи;

R - радіус основи конуса.

За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного бічним ребром піраміди, його висоти та половини сторони основи, маємо:

l^2 = (a/2)^2 + h^2

Висоту піраміди можна знайти, вирішивши це рівняння відносно h:

h = sqrt(l^2 - (a/2)^2)

Сторону основи піраміди можна знайти з формули для об'єму правильної трикутної піраміди:

V = (1/3) * S_base * h

де S_base - площа основи піраміди.

З іншого боку, площа основи піраміди може бути знайдена з формули для площі сектора кола:

S_base = (α/360) * π * R^2

Тоді маємо:

V = (1/3) * (α/360) * π * R^2 * sqrt(l^2 - (a/2)^2)

Розв'язавши це рівняння відносно a, отримаємо:

a = 2 * sqrt(3) * V / sqrt(α)

Твірну конуса можна знайти за формулою:

l_cone = sqrt(R^2 + h^2)

Площу осьового перерізу конуса можна знайти з формули для площі кола:

S_cone = π * R^2

Площу основи піраміди ми вже знайшли:

S_base = (α/360) * π * R^2

Покрокове пояснення: