Для обоих функций нам нужно найти их первообразные. Начнем с первой функции:
1. f(x) = (1/3)sin^2(x) + 1/x^3
Для решения этой задачи, мы должны использовать правило интегрирования для произведения двух функций. В данном случае, мы будем интегрировать функцию sin^2(x) и функцию 1/x^3 по отдельности. Затем сложим результаты, чтобы получить общий вид первообразной.
Поехали:
Шаг 1: Интегрирование функции sin^2(x)
Для интегрирования sin^2(x) мы можем использовать формулу двойного аргумента угла:
sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))
Интегрируем это выражение:
∫sin^2(x) dx = ∫(1/2)(1 - cos(2x)) dx
Шаг 3: Суммируем результаты
Теперь, когда мы посчитали интегралы для обоих функций по отдельности, нам нужно сложить результаты, чтобы получить общий вид первообразной:
F(x) = (1/2)x - (1/4)sin(2x) - (1/2)x^(-2) + C
= (1/2)x^(-2) - (1/4)sin(2x) + C (где C = C1 + C2 - новая произвольная постоянная)
Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (1/3)sin^2(x) + 1/x^3 будет F(x) = (1/2)x^(-2) - (1/4)sin(2x) + C.
Теперь перейдем ко второй функции:
2. f(x) = 1/cos^2(x) - 3sin(x)
Так как у нас два слагаемых, мы можем интегрировать их по отдельности и затем сложить результаты.
Шаг 1: Интегрирование функции 1/cos^2(x)
Для интегрирования 1/cos^2(x) мы можем использовать формулу тангенса:
1/cos^2(x) = sec^2(x)
Шаг 2: Интегрирование функции -3sin(x)
Интегрируем по известному нам правилу для sin(x):
∫(-3sin(x)) dx = 3cos(x) + C2 (где C2 - произвольная постоянная)
Шаг 3: Суммируем результаты
Теперь, когда мы посчитали интегралы для обоих функций по отдельности, нам нужно сложить результаты, чтобы получить общий вид первообразной:
F(x) = tan(x) + 3cos(x) + C (где C = C1 + C2 - новая произвольная постоянная)
Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = 1/cos^2(x) - 3sin(x) будет F(x) = tan(x) + 3cos(x) + C.
Это детальное решение должно помочь вам понять, как мы пришли к общим видам первообразных для обоих функций. Запомните, что интегрирование - это обратная операция дифференцированию, поэтому обратите внимание на каждый шаг и правильно интегрируйте каждую функцию.
1. f(x) = (1/3)sin^2(x) + 1/x^3
Для решения этой задачи, мы должны использовать правило интегрирования для произведения двух функций. В данном случае, мы будем интегрировать функцию sin^2(x) и функцию 1/x^3 по отдельности. Затем сложим результаты, чтобы получить общий вид первообразной.
Поехали:
Шаг 1: Интегрирование функции sin^2(x)
Для интегрирования sin^2(x) мы можем использовать формулу двойного аргумента угла:
sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))
Интегрируем это выражение:
∫sin^2(x) dx = ∫(1/2)(1 - cos(2x)) dx
Раскроем скобки и проинтегрируем по отдельности:
∫sin^2(x) dx = (1/2)∫(1 - cos(2x)) dx
= (1/2)(x - (1/2)sin(2x)) + C1 (где C1 - произвольная постоянная)
Шаг 2: Интегрирование функции 1/x^3
Для интегрирования 1/x^3 используем знакомое нам правило:
∫(1/x^n) dx = (-1/(n - 1))x^(1-n) + C2 (где C2 - произвольная постоянная)
Интегрируем нашу функцию:
∫(1/x^3) dx = (-1/(3 - 1))x^(1 - 3) + C2
= (-1/2)x^(-2) + C2
Шаг 3: Суммируем результаты
Теперь, когда мы посчитали интегралы для обоих функций по отдельности, нам нужно сложить результаты, чтобы получить общий вид первообразной:
F(x) = (1/2)x - (1/4)sin(2x) - (1/2)x^(-2) + C
= (1/2)x^(-2) - (1/4)sin(2x) + C (где C = C1 + C2 - новая произвольная постоянная)
Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (1/3)sin^2(x) + 1/x^3 будет F(x) = (1/2)x^(-2) - (1/4)sin(2x) + C.
Теперь перейдем ко второй функции:
2. f(x) = 1/cos^2(x) - 3sin(x)
Так как у нас два слагаемых, мы можем интегрировать их по отдельности и затем сложить результаты.
Шаг 1: Интегрирование функции 1/cos^2(x)
Для интегрирования 1/cos^2(x) мы можем использовать формулу тангенса:
1/cos^2(x) = sec^2(x)
Интегрируем это выражение:
∫(1/cos^2(x)) dx = ∫sec^2(x) dx
= tan(x) + C1 (где C1 - произвольная постоянная)
Шаг 2: Интегрирование функции -3sin(x)
Интегрируем по известному нам правилу для sin(x):
∫(-3sin(x)) dx = 3cos(x) + C2 (где C2 - произвольная постоянная)
Шаг 3: Суммируем результаты
Теперь, когда мы посчитали интегралы для обоих функций по отдельности, нам нужно сложить результаты, чтобы получить общий вид первообразной:
F(x) = tan(x) + 3cos(x) + C (где C = C1 + C2 - новая произвольная постоянная)
Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = 1/cos^2(x) - 3sin(x) будет F(x) = tan(x) + 3cos(x) + C.
Это детальное решение должно помочь вам понять, как мы пришли к общим видам первообразных для обоих функций. Запомните, что интегрирование - это обратная операция дифференцированию, поэтому обратите внимание на каждый шаг и правильно интегрируйте каждую функцию.